User:Arbol01/Primzahllücke

Eine Möglichkeit, solche Primzahllücken zu konstruieren, baut auf die Eigenschaften der Fakultät, kurz $n!$ geschrieben. Für alle $n$ enthält die Folge $n!+2$ . . . $n!+n$ sicher keine Primzahlen, da in $n!$ alle natürlichen Zahlen von $2$ bis $n$ als Faktoren enthalten sind und sich somit jede Zahl $n!+a$ mit $2\leq a\leq n$ in die Form $ab+a$ bringen lässt. Auf diese Weise lässt sich stets eine Primzahllücke beliebiger Mindestgröße konstruieren. Das Verfahren ergibt aber bis auf den Fall $n=2$ nie das erste Auftreten einer solchen Lücke.

			Theoretische Lücke			Praktische Lücke
n	n!+2	n!+n	$l_{th}$	$u_{th}$	$o_{th}$	$l_{pr}$	$u_{pr}$	$o_{pr}$
2	2!+2	2!+2	1	4	4	1	4	4
3	3!+2	3!+3	2	8	9	3	8	10
4	4!+2	4!+4	3	26	28	5	24	28
5	5!+2	5!+5	4	122	125	13	114	126
6	6!+2	6!+6	5	722	726	7	720	726
7	7!+2	7!+7	6	5042	5047	11	5040	5050
8	8!+2	8!+8	7	40322	40328	53	40290	40342
9	9!+2	9!+9	8	362882	362889	31	362868	362896

Alternativ zu n! läßt sich auch das kgv(1,2,3,...,n) (kleinstes gemeinsames Vielfaches) benutzen:

${\rm {kgvList}}(n)={\rm {kgV}}(1,\,2,\,...,\,n)$

$n!=1*2*...*n$

			Theoretische Lücke			Praktische Lücke
n	kgvList(n)+2	kgvList(n)+n	$l_{th}$	$u_{th}$	$o_{th}$	$l_{pr}$	$u_{pr}$	$o_{pr}$
2	kgvList(2)+2	kgvList(2)+2	1	4	4	1	4	4
3	kgvList(3)+2	kgvList(3)+3	2	8	9	3	8	10
4	kgvList(4)+2	kgvList(4)+4	3	14	16	3	14	16
6	kgvList(6)+2	kgvList(5)+6	5	62	66	5	62	66
7	kgvList(7)+2	kgvList(7)+7	6	422	427	9	422	430
8	kgvList(8)+2	kgvList(8)+8	7	842	848	13	840	852
10	kgvList(10)+2	kgvList(10)+10	9	2522	2530	9	2522	2530
12	kgvList(12)+2	kgvList(12)+12	11	27722	27732	33	27702	27732